压缩感知是基于应用数学的一种创新的信号获取及处理理论，其原理是通过对所采集的信号进行适当域变换得到可压缩信号，直接采集压缩后的信号并利用重构算法实现快速优质信号重建。运用该技术成像不仅具有出色的时间分辨率优势，同时具有满意的空间分辨率，因此近年来其在医学成像领域的应用逐渐成为研究热点。作者在阐述压缩感知理论基本原理的基础上，进一步对其在MRI上的研究现状和发展前景进行综述。
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依据传统Shannon/Nyquist信号采样理论，信号采集速率要达到信号带宽的2倍以上才能保证采样后形成的周期信号不发生重叠而实现信号精确重构[1]。这种高速采样产生庞大的数据，使硬件系统和重构算法面临着巨大的压力。
针对上述问题，Candès等[2]在2004年创新地提出了压缩感知（compressed sensing, CS）理论。压缩感知是直接感知压缩之后的信号，通过有选择性地采集少量重要数据并采用有效的重构算法实现原始信号的重构，实现缩短信号采集所需时间，减少计算量，并在一定程度上保持原始信号的重建质量的要求。
在医学MRI领域，与传统扫描方法相比，利用压缩感知理论可以大大加快成像速度，缩短扫描时间。结合压缩感知技术不仅具有显著的时间分辨率优势，同时具有令人满意的空间分辨率，因此其在临床MRI上的运用备受关注。笔者将对压缩感知技术及其在MRI上的应用进行较为系统地综述。
压缩感知的主要思想是[3]：先对信号进行域变换，使其成为稀疏的或可压缩的信号[4]，再利用一个与变换基不相干的测量矩阵将变换所得的高维信号投影到一个低维空间上，并对所获取的少量测量值进行求解凸优化问题，从而实现对信号的精确重构。关键步骤是信号的稀疏性[5]表示、测量矩阵的选取[6]以及重构算法的设计[7]。
信号的稀疏性或可压缩性是描述信号复杂性的一种数学方法，如由少数几个简单的元素构成的图像是稀疏的。很多自然图像存在变换域的稀疏性[5]，合理地选择稀疏基可使信号稀疏化从而满足可压缩的要求。MRI所得图像通常采用离散Fourier标准正交基进行稀疏变换。
根据压缩感知理论，信号的采样、压缩编码发生在同一个步骤。它以远低于Nyquist采样率的速率对变换后得到的可压缩信号进行非自适应的测量编码。测量矩阵必须满足受限等距特性准则(restricted isometry property, RIP)[6]，才能从信号的不完备测量集中高概率重构原始信号。
重构算法思想是寻找合适的算法从少量的数据中精确恢复原有信号。杨晓兰等[7]提出用β范数近似逼近l1范数的思想并运用Bregman迭代正则化方法进行求解得到核磁共振图像可以从全部数据的40％抽样中几乎精确重构原始图像。
在MRI领域，由于扫描仪器所采集的不是直接的图像像素，而是由图像经过全局傅里叶变换将原始采集的时域图像转化得到的频域图像。每一个频域像素是由时域图像的所有像素值的线性组合，也即频域图像的每一个像素都包含原始图像的所有信息。因此，只保留部分重要的采集数据不会导致原始图像信息的永久缺失。运用压缩感知理论可以大大减少采样数据量，从而为后续数据传输、处理和存储减小压力。该技术创新地改变医学信息的获取方式，可以将速度提高到原来的几千倍，进而实现缩短扫描时间，同时又具有令人满意的空间分辨率，故其在临床MRI的应用备受关注，以下就其中几个研究热点展开进一步阐述。
MR功能成像是一种新兴的神经影像学方式，其原理是利用MR造影来测量神经元活动所引发的血液动力学的改变。目前主要用于研究哺乳动物神经系统。目前临床上以血氧水平依赖MRI技术（BOLD）最为普遍[8]，其他常见的功能MRI技术[8]还包括灌注加权成像技术(PWI)、扩散加权成像(DWI)、频谱成像（MRS）等。
随着MR硬件和EPI技术的发展，功能MRI被视为研究脑功能的标准工具。然而，与全局MRI信号相比，血氧水平依赖性信号的变化微乎其微，无法避免由运动或组织脉动产生的噪声。而压缩感知理论，利用k-t FOCUSS算法[9]，结合ROC曲线，可以有效地判断所发现的激活区域是来自激活信号还是噪声信号，并将所得结果和全局采样的结果进行比较，从而获得高时间分辨率的功能成像。k-t FOCUSS算法表述如下：
公式中，ν, A, ρ0分别代表在k-t空间中的采样测量值，稀疏变换矩阵和预测值。另外，在Θl=WlWlT式中，Wl是一个对角矩阵，可反复迭代如下：
在方程中N是所有未知系数的总数，令p=0.5，利用k-t FOCUSS算法可以近似求解l1范数最小化问题。在功能MRI中，对于周期运动的组织（如心脏），利用k-t FOCUSS算法时通常使用傅里叶变换基进行变换；而对于无规律运动，则采用KLT变换（Karhunen-Loeve transform）。通过ROC曲线与常规成像方法比较结果显示：根据k-t FOCUSS算法并利用KLT基变换在成像速度和重构效果精确程度上有着显著优越性。
Jung等[9]设计了右手扣指实验[right finger tapping (RFT) experiments]，在3.0 T临床MRI扫描仪上进行实验。实验采用EPI序列，扫描参数：层数为35，反转角为80° ，TR 3000 ms，TE 35 ms，层厚4 mm，体素为3.4375 mm×3.4375 mm×4.0000 mm，FOV为220 mm×220 mm。
k空间采集数据大小为64×64。为实现高时间分辨率的功能MRI，其他条件保持不变，分别将相位编码减少2倍和4倍。根据压缩感知理论，采样基必须满足不相干性。于是，低频率部分采用完全采样以获得KLT基，在时间方向上，分别采用傅里叶变换和KL变换对时间方向上所采集的数据进行变换再做k-t FOCUSS算法，并与常规的全局采样方法进行比较得到，只有在加速的功能MRI上，TR才能通过跳跃相位编码步骤实现减小，从而满足快速高质量成像效果。
将压缩感知和功能MRI这两项技术优势结合起来，通过检验血流进入脑细胞的磁场变化实现快速脑功能成像，从而更精确得到结构与功能关系。该技术将有待更进一步的优化并运用于观察连续进行动态功能MRI，以更好地研究大脑功能重组与功能恢复之间的相关性。
在临床MRI上，通过对心脏、大脑等器官扫描所得的原始信号进行适当的变换所得信号大部分为分段光滑的，经过小波变换之后可以得到稀疏基，但容易受时间相关性的影响。为了减小误差，则需要对每个时间分别采用合适的测量矩阵对其所采集的信号进行稀疏变换。但因扫描信号是连续获取的，扫描时间必须是能精确重建1幅图像所需数据的全部扫描时间。因此，对于MR实时动态成像，测量矩阵的批量优化处理计算将很复杂。
针对这一难题，有学者利用计算机仿真的方法在压缩感知理论基础上利用降阶的卡尔曼滤波法做进一步的完善，即卡尔曼滤波压缩感知（KF-CS）[10]，对时间序列原始信号进行处理，从而得到更稀疏的信号，使得重构信号的误差大大减少。其优化的思想可具体归纳为：首先，在原有算法的基础上将Dantzig选择器改为套索工具；其次，通过改变参数避免错误的增加或删除，从而减少误差；最后，利用矩阵代数的技巧加快矩阵乘法和转置，从而实现对信号进行高效率卡尔曼滤波处理。由于MRI测量矩阵的不相干性较弱，而且由不同的小波变换所得系数的数量级和方差不大相同，因此其算法的定量分析还有待继续探究。
MRI技术中，成像速度一直是人们十分关注的问题。目前，并行采集成像被普遍认为在临床冠状动脉MRI速度最具优势的方法。Candès等[2]根据压缩感知理论，在临床1.5 T上根据相同的扫描参数分别采用并行采集和压缩感知技术进行各向同性亚毫米级全心冠状动脉MRI。得到在相同条件下，运用压缩感知技术进行成像速度是并行采集成像的6倍。在2010年，Vasanawala等[11]通过儿科MRI对34例患儿进行分组实验，提出了通过结合压缩感知技术比单独使用并行采集成像更优。刘晓芳等[12]针对并行采集技术无法避免由欠采样造成重建图像存在的混迭伪影和噪声问题，结合压缩感知理论，提出将一阶差分作为稀疏投影算子的约束条件下构建各向异性全变分最小化约束下并行MRI重构问题，根据变量分裂法的求解法则验证了该方法可有效地较少由于数据欠采样造成的混迭伪影，同时可抑制噪声且保留边缘细节。
有学者在压缩感知理论的基础上做更进一步的完善，提出采用插值压缩感知（interpolated compressed sensing, ICS）[13]实现高精度快速二维多层面MRI，并且达到让人满意的信噪比。该技术的理论依据：当扫描层面较多且每层厚度较薄的情况下，由于相邻层之间的结构是相似的，因此可以通过k空间中低采样率采集所得的层面信息来估计欠采样率采集的相邻目标层面图像的信息。
该技术的关键步骤如下：首先，在k空间中，分别采用高采样率和低采用率采集目标层面及其相邻层面的图像数据，分别用I1LowRes和I2LowRes表示；其次，计算两者的商，即W1=I1LowRes/I2LowRes，再对其作傅里叶变换并记为Wk=F（WI），从而得到在k空间中的加权函数；再次，通过相邻层面的图像数据与加权函数作卷积来估计目标层面的数据，即S1_new=S2 ⊗ Wk，式中，S2是低采样率采集层面在k空间中的原始数据，S1_new是目标层面数据的估计值，它和其相邻层面具有相同的采样率；最后，再利用非线性共轭梯度算法重构原始信号。
Pang等[13]在7.0 T(GE)MR扫描仪上对健康志愿者的脚部进行扫描，参数：目标层面及其相邻层面的采样率分别为1/100和1/4，接收带宽为15.6 kHz，反转角为30° ，TE 2.76 ms，TR 10.00 ms，矩阵为512×512，FOV 14 cm×1 cm，层厚为2 mm，层间距为2 mm，NEX为1，相位编码方向由高到低。结果，通过对比得到在相同的扫描时间内，应用插值压缩感知技术所得的图像的信噪比是仅用压缩感知技术所得图像质量的4倍，且图像误差减小40%。因此，利用插值压缩感知技术可以实现快速高保真采集并重构原始图像。
根据压缩感知信号重构理论，非凸优化算法可实现快速重构MR扫描所得的原始图像。在此基础上，有学者提出基于傅里叶变换的凸优化算法，将非凸优化算法和先进的凸算法结合起来，利用算子分裂算法和布雷格曼迭代方法[14]，可以从k空间中通过采集比传统采样更少的数据而重构原始信号，具体算法如下：
公式中，i是图像像素的大小，vi是矢量，而ui和wi是标量，βD, βW,和μ是常量。对μ,v,w分别固定其中两个求得第3个。对于u-子问题，利用FFT或FWT算法（其中，FFT是快速傅氏变换算法，fast Fourier transform algorithm; FWT是快速威尔什变换，Fast Walsh Transform）直接求得。利用逼近法可以求得余下子问题。将问题分割成两两独立的子问题的算法使问题简单化并使得计算量达到最优，从而缩短扫描时间。运用MATLAB软件进行仿真实验，采用Shepp-Logan模式对数据进行仿真投影，数据大小为256 × 256，所得数据符合稀疏梯度分布，通过控制变量法分别改变射线数和p值，得到相同时间内，射线数越多重构所得图像信噪比越高，当射线数为9时，在k空间的数据采样率为3.5%，而当射线数为10时，在k空间的数据采样率为3.8%。通过设置不同的p值进行实验，分别为-12、0、1/2、1，并对其成像效果进行比较，得到：p=1时，从图像上可以看到明显的混淆效应，p=-1/2时可以得到令人满意的图像效果。最优的射线数以及最佳的p值将有待进一步的实验探究。
MRSI是一种无创性检测人体正常和病变组织细胞代谢变化的技术，主要应用于头颅，随着硬件设备的不断发展，其逐渐应用在体部、乳腺中。13C谱具有比氢谱宽的化学位移谱图，因而分辨率也大大提高。由于超极化13C在活体中是不可循环利用的且在T1和T2的持续时间很短，为了防止信号丢失，因此需要一个快速高效的MRSI技术来实现。
Ardenkjaer-Larsen等[15]在2003年提出，根据动态核偏振原理，在液态状态下，利用超极化技术，高极化的核自旋可以在活体中直接检测到高信噪比的13C代谢物。Ardenkjaer-Larsen等[15]和Goertz等[16]已经验证了超极化13C MRSI的固有特点，如：天然丰富的碳化合物的主要波谱由于没有背景干扰只包含几个主要的峰，超极化信号是基本稀疏的且高速率采集所得的谱仍具有高信噪比，这使得它能很好地结合压缩感知技术实现快速13C MRSI。Cunningham等[17]首先采用双自旋回波13C序列在k空间中的kx和ky相位编码方向、波谱成像回波平面及kz频率编码方向进行数据的采集和填充[18]。Hu等[19]在3.0 T（GE）上设计实验，采用特制的射频线圈，双调谐，1H/13C转换和接受信号。在回波采集过程中设计了一个梯度信号，使得在k空间中，信号可以跳跃式采集而达到稀疏的目的，信号采集速度可达到原来的7.53倍。先利用快速自旋回波序列进行T2质子加权成像，再在其上面定位进行13C MRSI。进行试管成像时，FOV 11 cm×11 cm，矩阵为256×192，层厚为3 mm，NEX为6；在进行老鼠实验时，FOV 8 cm×8 cm，矩阵为192×192，层厚为2 mm，NEX为6。并通过增大反转角来补偿超极化信号的缺失，序列的末端是一个90°脉冲。反转角的计算法则如下：
公式中，θ[n]表示第n个反转角的大小。在信号重构部分，将采集所得的信号进行4D数组排列，并通过l1范数最小法对k空间频率编码和相位编码方向的数据进行填充，再对数据进行标准化处理从而实现信号的快速精确重构。2010年，Hu等[19]运用该技术通过计算机仿真、试管实验及老鼠造模实验得到通过结合压缩感知技术进行超极化13C MRSI，可将成像速度达到原来的7.53倍，并在肝癌转基因老鼠模型上得到0.034 cm3的空间分辨率。Larson等[20]在此基础上进行更进一步的序列优化，通过减小反转角并实行多频段脉冲激发实现在确保成像速度精度的前提下每次激发过程中超极化13C量的降低。
运用平面回波频谱成像（echo-planar spectro-scopic imaging, EPSI）序列并结合压缩感知技术进行成像，实现在活体动物中可测超极化13C丙酮酸的时间分辨、可测体积的波谱成像。这种时间分辨的采集成像方法对代谢成像和组织特征的灌注、吸收和转化有重大意义。
MR电影成像具有可快速重复采集、无辐射等优点，可以在一个单独时间内一次性完成检测并获得有价值的数据，因此被应用于心肌功能评价[21]，如评估心室容积，且可用于心脏病老鼠模型上进行无创地心脏整体运动检测。目前，在老鼠上进行MR电影成像检测主要在小口径高场强的MRI系统设备，对硬件系统要求比较严格[22]。扫描的时间取决于时间分辨率和空间分辨率，通常，为了达到令人满意的信噪比，扫描时间需要10~30 min，这给临床应用带来很大的麻烦。利用并行采集技术（parallel imaging，PI），可在保持图像质量的前提下将成像速度提高3到4倍。但是，PI技术需要多个信号采集通道数，此外，优化的射频线圈队列被应用于信号的接收，在硬件系统不支持的情况下这种方法将行不通。
针对这一问题，Wech等[23]首次提出在老鼠心脏上运用压缩感知技术进行MR电影成像。动态MRI对搏动心脏扫描所得的图像经过变转化处理之后在时间域上的分布可以满足稀疏条件[21]，从而可以结合压缩感知技术进行稀疏采样。实验采用9.4 T(Varian)MR扫描仪，采用双通道分段梯度回波序列进行扫描，扫描参数：反转角为15°，FOV 25.6 mm×25.6 mm，矩阵256×256，TE 1.7 ms，TR 4.6 ms，层厚1 mm，NEX为2。对慢性心肌缺血的老鼠进行全局采样方式采集信号，对5只体重为（25.8±3.4） g的老鼠进行在相位编码方向的欠采样信号采集。为了估计压缩感知技术再加速MR电影成像的有效性，采用控制变量法，在k空间中分别将采样率的倍数设为2、2.5、3和4，采样方案由具体数据结构而定，通常为了符合压缩感知信号稀疏化的要求采用接近高斯分布的采集模式[23,24]。为了得到一个合适的采集模式，在进行活体实验之前，根据点分布函数知识，先用计算机对k空间中的数据进行仿真实验，从而得到合理的实验参数。在用MATLAB软件对数据进行各项同性的零填充、滤波处理[24]和傅里叶变换，通过对比得到将采样率提高到原来的3倍，可以实现在老鼠心脏整体运动MR电影成像的精确重构。
并行采集技术（parallel acquisition technique, PAT）[25]是近年来用于临床MR快速成像的技术，大大加快了MRI的采集速度。目前各大MR成像仪厂家都已经普遍采用了并行采集技术。MR图像的采集实际上是k空间相位编码线的获取和填充，k空间需要获取的相位编码线越多，图像的采集时间越长。并行采集技术在相位方向的空间信息通过梯度相位编码和接受线圈的敏感度相结合来获取。
并行采集技术的一般流程：首先进行参考扫描获得成像组织内各点的相控阵线圈敏感度信息；然后利用相控阵线圈采集较少的MRI信号，进行k空间相位编码线的低密度填充（矩形FOV技术）；最后利用参考扫描得到的相控阵线圈敏感度信息，采用数学算法除去卷褶获得全FOV图像。
并行采集技术在临床上的应用主要包括：(1)加快图像的采集速度，缩短图像的采集时间，多用于耐受性较差不能坚持检查的病例；(2)增加图像的空间分辨率但并不增加扫描时间，可用于高分辨率扫描；（3）体部成像屏气扫描；（4）运动脏器的快速成像，如心脏成像；（5）用于单次激发EPI，可缩短回波链，缩短有效回波时间，从而减少磁敏感伪影并提高图像质量；(6)用于单次激发FSE序列，可缩短回波链和回波时间隙，从而提高回波链的质量；(7)用于高场机器特别是3.0 T以上的高场机的扫描，可大大降低SAR值。
通常，应该根据具体的需要和条件选择合适的并行采集加速因子，理论上最大的加速因子可以达到相控阵线圈的子线圈数目及其相应的采集通道数，但加速因子越大，图像的信噪比越低，且容易产生卷褶伪影。
针对这一难题，Vasanawala等[11]结合自身迭代并行成像重构算法（iterative self-consistent parallel imaging reconstruction, SPIR-iT）[26]的理论基础，提出将压缩感知技术和并行采集技术结合起来，即L1范数惩罚自身迭代并行成像重构算法（L1 norm penalized SPIR-iT, L1SPIR-iT）共同实现快速获得高空间分辨率的扫描效果。该算法的思想如下：
公式中m是目标图像，F是全局采样傅里叶变换，x是重构k空间，Ψ是小波变换运算符。其中，L1是重新定义的L1范数，即：
式中，c是接收线圈数，r是具体的位置，w是小波变换系数。通过在3维梯度回波序列中添加一个伪随机的k空间随机采样模式，通过修改序列将采样方式改为泊松圆盘采样，并在采样的过程中设定一个较大的加速因子，并结合压缩感知非线性重构的方法在MATLAB软件实现图像精确重构[26,27]。Vasanawala等[11]采用1.5 T 8通道MR扫描仪用优化了的3D梯度回波脉冲序列，在实验过程中发现采用3D的序列所采集得到的信号更容易进行压缩。另外，与3D自旋回波序列相比，采用3D梯度回波序列更好得到泊松圆盘采样信号。分别用传统的并行采集成像和结合压缩感知技术的并行采集成像方法对34例平均年龄为8.1岁的患儿进行T2WI，并对实验所得数据进行比较。得到结合压缩感知并行采集技术可以更快得到高分辨率的图像，且能更清晰地界定图像的解剖结构(P<0.01)。另外，在灌注MRI方面，2010年，Otazo等[28]也通过结合k-t SPARSE技术[29]和SENSE[30]重构方法，将压缩感知技术和并行采集技术结合起来，通过实验得到在活体实验中，接收线圈为12通道的情况下，加速因子为8可以实现高分辨率的图像。在此基础上，Li等[31]提出用屏息多回波快速自旋回波序列[32]，通过FOCUSS(k-t FOCal underdetermined system solver)算法[33]结合压缩感知技术和并行采集技术可实现加速心脏T2WI，并达到较高的空间分辨率（1.7 mm×1.7 mm）。
通过将压缩感知和并行采集两种技术结合起来，可以实现快速高质量采集重构图像。在这方面，接下来的努力方向是在原有各种脉冲序列上进行修改，并开发出相应的程序将其两者更好地结合起来，从而更好地运用到临床磁共振成像。
压缩感知MRI技术是一项在应用数学基础上发展起来的快速MRI新技术。由于它能实现快速高质量成像，因此其在医学MRI的应用上具有很好的发展潜力。目前，其理论研究还不够完善，相应的应用研究还处于理论层面，即主要在测量矩阵和重构算法的性能分析和优化上，对压缩感知实现方法的研究仍处于起步阶段，许多相关问题有待解决。其主要有以下几个方面，快速有效的稀疏分解算法的研究，去噪声的重构算法的设计研究，图像的实际应用问题研究及软硬件要求和设计研究。
尽管压缩感知MRI技术尚处于起步阶段，但已显现出良好的应用前景。通过不断地优化序列、MR扫描硬件水平的提高及MATLAB软件程序及数据分析能力的加强，其在MR血管壁成像、非增强血管成像、外周动脉非增强血管成像、MR弹性成像、MR分子成像、超极化多核成像、经络MR成像、MRSI、动态MRI、介入MR等方面的应用将成为研究热点。今后，压缩感知MRI技术将会为临床医师和科研人员提供更多有价值的信息，此领域也会被更多人所关注。
